Trigonometria

Le funzioni trigonometriche esprimono semplici relazioni geometriche fra angoli e (rapporti di) lunghezze.

Seno e Coseno

Si  può cominciare con un quesito: dato un bastone di lunghezza 1 inclinato di un angolo α rispetto al piano orizzontale, quanto è lunga  la sua ombra quando il sole lo illumina verticalmente? Si consideri lo schizzo a lato: Il segmento rosso rappresenta  il bastone, la freccia rappresenta la luce che cade dall’alto. L’angolo a  può essere scelto arbitrariamente  (nell’esempio a lato abbiamo α = 51°). Si cerca la lunghezza del segmento verde.

Il problema non è solubile con le operazioni di calcolo che abbiamo visto fino ad ora!  Solo in casi eccezionali la lunghezza dell’ombra può essere espressa con numeri già noti (ad esempio per a = 60° la lunghezza è ¹/₂, per a = 45° è 2^–1/2), mentre se prendiamoα = 51°  otteniamo un numero (reale) che non si esprime in questo modo né in modo simile.

Pur non sapendo come calcolare la lunghezza dell’ombra per a = 51° (a titolo di esempio), è chiaro che questa è univocamente determinata dalla domanda posta sopra. Per ottenere una prima approssimazione, possiamo fare un disegno  preciso sullo stile di quello riportato più sopra e misurare la lunghezza del segmento verde. Troveremo un valore di circa 0.63. Un procedimento di questo tipo è però insoddisfacente dal punto di vista matematico. Quello che in ogni caso possiamo fare intanto è dare un nome al risultato esatto: lo chiamiamo coseno.

La lunghezza del segmento verde si esprime con cos a oppure cos(a) e si legge  “Cosen alpha” oppure “Coseno di alpha”. Poiché l’ombra è la lunghezza dell’immagine che il sole “proietta” sulla terra, possiamo anche dire:  cos a è la  lunghezza della proiezione di un segmento che – come nello schizzo qui a fianco a sinistra – è inclinato di angolo a e ha lunghezza 1. Se a = 51°, come nel nostro esempio,  scriveremo cos(51°). Il simbolo cos(51°) rappresenta quindi un numero reale (circa uguale a 0.63), cos(60°) rappresenta un altro numero reale  (e cioè ¹/₂), ecc.

Analogamente possiamo  illuminare il bastone con un raggio di  luce in direzione orizzontale e chiederci quanto sarà lunga la sua ombra proiettata su una parete verticale. Anche questa lunghezza in generale non può essere espressa con uno dei metodi di calcolo a noi già noti. La chiameremo Seno.

La lunghezza del segmento blu nello schizzo qui a fianco a destra si esprime con sin α oppure sin(α) e si legge “Sen alpha” oppure “Seno di alpha”. Anche questa volta si tratta di una proiezione, adesso però ad opera di un raggio di luce orizzontale. Possiamo anche interpretare sin α  come la lunghezza apparente del bastone rosso sullo sfondo visto da una grande distanza. Se ad esempio abbiamo a = 51°, scriviamo sin(51°).

Seno e Coseno si chiamano funzioni trigonometriche. Il nome “funzione” deriva dal fatto, che a ciascun angolo a possiamo assegnare i due numeri sin a e cos a. Da un punto di vista matematico non c’è niente di eccezionale. Quando assegniamo a un numero x il suo quadrato scrivendo  f(x) = x² non facciamo niente di diverso. La differenza rispetto a formare il quadrato consiste soltanto nel fatto che il calcolo numerico di sin α e cos a per un angolo dato α è più complicato. Per fortuna possiamo delegare questo compito a strumenti come il computer o il calcolatore tascabile. Anche questi strumenti per la maggioranza degli angoli ci forniscono solo dei valori approssimati che però, come nel caso dell’estrazione di radice, sono sufficientemente precisi per quanto riguarda le applicazioni pratiche.

Seno e Coseno, così come tutte le altre funzioni trigonometriche, hanno un ruolo essenziale in matematica e in molte applicazioni. Fondamentalmente la loro importanza deriva dal fatto che nascono da problemi geometrici semplici e molto generali (nel senso che si presentano frequentemente). 

		In linea di massima, adesso sappiamo che cosa sono il Seno e il Coseno di un angolo e vogliamo vedere come li possiamo utilizzare. In ognuno dei disegni del paragrafo precedente troviamo un triangolo rettangolo: l’abbiamo riportato nello schizzo qui a fianco a destra. Inoltre abbiamo ruotato leggermente il tutto, visto che la posizione del triangolo nel piano non ha nessuna importanza. Con l’aiuto di questo disegno possiamo caratterizzare le due funzioni trigonometriche in maniera diversa:In un triangolo rettangolo la cui ipotenusa ha lunghezza 1, sia α uno dei due angoli acuti. Allora abbiamo che   sin α è la lunghezza del cateto opposto all’angolo α, e cos α è la lunghezza del cateto adiacente all’angolo a. Adesso consideriamo un triangolo rettangolo con lo stesso angolo a, ma con un’ ipotenusa di lunghezza non necessariamente uguale a 1. Lo otteniamo “dilatando” o “riducendo” il nostro triangolo originale in maniera tale da mantenere gli angoli. Si dice che il triangolo originale e quello riportato qui a fianco a sinistra sono simili. In entrambi i triangoli, il cateto opposto all’angolo α) (blu) è più corto rispetto all’ipotenusa di un fattore sin α, e in entrambi i triangoli, il cateto adiacente all’angolo (verde) è più corto rispetto all’ipotenusa di un fattore cos α. In questo senso sin α e cos a possono essere interpretati come fattori di riduzione. Ciò può essere dimostrato formalmente grazie al teorema di Talete. Vediamo quindi che in ogni triangolo rettangolo vale: sin a   = cateto opposto   ipotenusa (1) cos a   = cateto adiacente   ipotenusa (2)	sin a   = cateto opposto   ipotenusa (1) cos a   = cateto adiacente   ipotenusa (2)	sin a   = cateto opposto   ipotenusa	sin a   =	cateto opposto   ipotenusa	(1)	cos a   = cateto adiacente   ipotenusa	cos a   =	cateto adiacente   ipotenusa	(2)
sin a   = cateto opposto   ipotenusa (1) cos a   = cateto adiacente   ipotenusa (2)	sin a   = cateto opposto   ipotenusa	sin a   =	cateto opposto   ipotenusa	(1)	cos a   = cateto adiacente   ipotenusa	cos a   =	cateto adiacente   ipotenusa	(2)
sin a   = cateto opposto   ipotenusa	sin a   =	cateto opposto   ipotenusa	(1)
sin a   =	cateto opposto   ipotenusa
cos a   = cateto adiacente   ipotenusa	cos a   =	cateto adiacente   ipotenusa	(2)
cos a   =	cateto adiacente   ipotenusa

In molti libri Seno e Coseno vengono introdotti attraverso le proprietà (1) e (2).

Vogliamo illustrare come si utilizzano queste proprietà nei calcoli. Consideriamo il seguente problema geodetico: Come raffigurato nello schizzo a fianco, la distanza diretta fra un punto di osservazione e la vetta di un monte misura 3.7 km. La vetta appare dal punto di osservazione sotto un angolo di 19.5°. Quanto è alta la montagna?

Soluzione:  Usiamo la relazione (1):

Quindi h = sin(19.5°) × 3.7 km. Utilizzando un calcolatore otteniamo sin(19.5°) = 0.3338, e quindi h = 0.3338 × 3.7 km = 1.24 km, arrotondando il risultato ragionevolmente.

Le nostre definizioni datesopra di Seno e Coseno in realtà non sono ancora complete. Ricordiamoci: Abbiamo introdotto Seno e Coseno come lunghezze dell’ombra di un bastone inclinato di lunghezza 1, rispettivamente sotto un raggio di luce verticale (cos α) e un raggio di luce orizzontale. (sin a). Lo raffiguriamo nel disegno qui a fianco, piazzando un estremo del bastone (rosso) nell’origine di un sistema di coordinate cartesiane e riportando “le ombre” (o meglio proiezioni) lungo gli assi cartesiani. L’angolo a si misura relativamente all’asse orizzontale (delle ascisse) in senso antiorario.

Vediamo che si può aumentare l’ angolo a ruotando il bastone rosso come una lancetta di orologio (ma in senso antiorario). La punta della lancetta descrive un  cerchio (di raggio 1) detto “circonferenza goniometrica“.

Possiamo ruotare la lancetta, cioè il raggio rosso della circonferenza goniometrica, anche oltre la linea verticale. In tal caso la posizione del raggio è descritta, come nella figura a fianco a sinistra, da un angolo ottuso. Anche in questo caso possiamo, come sopra, riportare le proiezioni sugli assi cartesiani e definire così Seno e Coseno per un angolo ottuso. Qui adotteremo la seguente convenzione: Un segmento orientato verso sinistra oppure verso il basso rispetto all’origine sarà considerato negativo. L’angolo rappresentato nell’esempio a sinistra è 131°. La lunghezza del segmento verde è circa 0.656. Il Coseno di questo angolo è quindi circa –0.656, perciò negativo! sin(131°) invece è positivo (circa 0.755), poiché il segmento blu è orientato verso l’alto rispetto all’origine.

Se continuiamo a ruotare il raggio rosso, possiamo rappresentare qualsiasi angolo fra 0° e 360°, e in tutti questi casi il nostro procedimento ci fornirà un  valore univocamente determinato per il Seno e per il Coseno indicandoci anche il loro segno. Il segno di Seno e Coseno dipende dal quadrante in cui si trova il raggio che rappresenta l’angolo α (i quadranti dividono il piano cartesiano in quattro parti delimitate dagli assi che vengono numerate in senso antiorario da 1: ” in alto a destra”, 2: “in alto a sinistra” e 3: “in basso a sinistra” fino a 4: “in basso a destra”).

Possiamo anche continuare a ruotare il raggio, ma non otterremo niente di nuovo: Un angolo di 370° non è diverso da 10° – per cui anche le funzioni trigonometriche coincidono, ad es. sin(370°) = sin(10°). Anche ruotando il raggio in senso inverso e riducendo α fino a raggiungere i numeri negativi non troveremo niente di nuovo: Un angolo di –10° non è diverso da 350°,  per cui anche le funzioni trigonometriche coincidono, ad es. sin(–10°) = sin(350°).

Angoli fra 90° e 180° (cosiddetti ottusi, mentre quelli fra 0° e 90° sono detti acuti) sono presenti in molte applicazioni. E se il raggio rosso è orientato verso destra e inclinato di 1° verso il basso, è molto più semplice indicare l’angolo con –1° piuttosto che con 359°. Questa convenzione però ha anche delle conseguenze teoriche. Ad esempio la somma di due angoli è un angolo. Se α e b sono due angoli (cioè descrivono due posizioni del nostro raggio), anche a + b sarà un angolo, poiché abbiamo ammesso qualsiasi valore. Basterà ricordare che consideriamo identici gli angoli che differiscono di 360° (o di un multiplo di 360°).

Con l’ausilio della circonferenza goniometrica possiamo dimostrare una serie di proprietà basilari delle funzioni trigonometriche. La circonferenza goniometrica è uno strumento importante per la comprensione di Seno e Coseno .

Una delle proprietà che si ricavano dalla circonferenza goniometrica riguarda il codominio di Seno e Coseno: I valori di queste funzioni non possono mai essere minori di –1 o maggiori di 1. Questo si deduce immediatamente dal fatto che le proiezioni del nostro raggio  (di lunghezza 1) sugli assi non possono essere più lunghe del raggio stesso. Concludiamo quindi che per qualsiasi angolo a si ha

Le funzioni Seno e Coseno sono fra le più importanti funzioni matematiche. Possiedono varie proprietà che vengono utilizzate sia nelle applicazioni sia nella matematica pura. Parleremo adesso di alcune di queste proprietà.

Il Teorema di Pitagora

Consideriamo – come all’inizio di questo capitolo – un triangolo rettangolo, la cui ipotenusa ha lunghezza 1. Il Teorema di Pitagora ci dice che in un triangolo rettangolo la somma dei quadrati (delle lunghezze) dei due cateti coincide con il quadrato (della lunghezza) dell’ipotenusa. Applicandolo al triangolo qui a fianco, otteniamo per qualsiasi angolo a l’identità

Qui sin²α è un’abbreviazione per (sin a)², in parole: “Seno quadrato di a“. Questa formula non è altro che una maniera – forse inizialmente poco usuale – di esprimere il Teorema di Pitagora. Ci fornisce una semplice relazione fra Seno e Coseno. Se ad esempio – per un certo angolo a – conosciamo sin a, possiamo dedurre

dove il segno dipende dal quadrante in cui si trova il raggio che rappresenta l’angolo α nella circonferenza goniometrica (nel primo e nel quarto quadrante +, altrimenti –).

Periodicità e (Anti-)simmetria

La circonferenza goniometrica ci mostra che Seno e Coseno sono funzioni periodiche: Quando a un angolo α sommiamo 360°, il raggio ritorna nella stessa posizione di a. Quindi abbiamo

Possiamo dire: Il periodo di entrambi le funzioni è 360°. Inoltre abbiamo

per cui Seno è una funzione antisimmetrica, mentre Coseno è una funzione simmetrica.

Identità con angoli supplementari e complementari

Possiamo anche dedurre identità che riguardano gli angoli la cui somma è pari a 90° (angoli complementari) oppure a 180° (angoli supplementari) e anche gli angoli, la cui differenza è pari a 90° oppure 180°:

I valori di Seno e Coseno per angoli arbitrari possono quindi essere dedotti dai valori per gli angoli compresi fra 0° e 90°.

Angoli doppi

Se conosciamo il valore delle nostre funzioni trigonometriche per un angolo a, possiamo dedurre il valore per l’ angolo doppio da

Queste formule sono casi particolari di quelle che discutiamo nel prossimo punto.

Teoremi di Addizione per Seno e Coseno

Oltre alle relazioni fra Seno e Coseno discusse sopra, esistono altre identità che riguardano due angoli arbitrari. Sono note come formule per l’addizione o teoremi di addizione. Ve le presentiamo senza dimostrazione (la dimostrazione più elegante usa i numeri complessi). Per due angoli arbitrari α e b si ha sempre

Se poniamo b = a, otteniamo (12) e (13).

Altre proprietà di Seno e Coseno si trovano cliccando  qui a fianco.

Oltre a Seno e Coseno si usano anche altre funzioni da loro derivate. In particolare i quozienti di Seno e Coseno hanno un nome proprio: Tangente e Cotangente: Ecco la definizione:

Si noti che queste due espressioni sono reciproche e quindi strettamente legate: il loro prodotto è 1. (Su alcuni calcolatori tascabili manca il tasto per Cotangente, che può essere calcolata come 1/Tangente).

A differenza di Seno e Coseno, per certi angoli Tangente e Cotangente non sono definite: Si provi  ad esempio a calcolare tan(90°) oppure cot(0°). Il nostro calcolatore ci da “Infinity”, avvertendoci che è stata tentata una divisione per zero . Dalle definizioni (16) e (17) infatti deduciamo:

• Se cos α = 0 (cosa che si verifica quando α = 90° oppure 270°, dove l’ultimo caso è equivalente a –90), il denominatore in (16) diventa zero. In questi casi dunque tan α non è definita, mentre cot a = 0.
• Se sin α = 0 (cosa che si verifica quando α = 0° oppure ±180°), il denominatore in (17) diventa zero. In questi casi dunque cot α non è definita, mentre tan a = 0.

In tutti gli altri casi il nostro calcolatore ci fornisce dei numeri concreti che però adesso possono essere grandi a piacere.

Tangente e Cotangente in un triangolo rettangolo

Anche Tangente e Cotangente possono essere interpretate come rapporti fra i lati in un triangolo rettangolo. Per le definizioni (16) e (17) deduciamo da (1) e (2)

Come esempio applicativo consideriamo il seguente problema geodetico: La vetta di un monte alto 1.24 km viene osservata sotto un angolo di 19.5°. A che distanza si trova l’osservatore dalla proiezione sul piano della vetta del monte?

Soluzione:  Usiamo la relazione (18):

Quindi d = 1.24 km/tan(19.5°). Usando il calcolatore per Tangente e Cotangente otteniamo tan(19.5°) = 0.3541, dunque d = 1.24 km/0.3541 = 3.502 km (dove per scopi pratici in genere sarà sufficiente il valore approssimato d = 3.50 km).

Tangente e coefficiente angolare.

La Tangente ha un ruolo molto particolare poiché esprime la relazione fra il coefficiente angolare e l’angolo di pendenza di una retta. Per determinare il coefficiente angolare di una retta, si raffigura , come nello schizzo qui a fianco, il suo “triangolo di pendenza”. Il quoziente k = Dy/Dx si chiama coefficiente angolare – ed ha il medesimo valore in ciascun triangolo di pendenza, indipendentemente dalla sua grandezza. La Definizione (18) ci dice che il coefficiente angolare è uguale alla tangente dell’angolo di pendenza che l’asse delle ascisse forma con la retta stessa:

Se ad esempio l’angolo di pendenza di una strada misura 12°, il coefficiente angolare è tan(12°), che è circa pari a 0 .21. Sul cartello stradale che indica la pendenza della strada troveremo scritto “21%” (che possiamo leggere come “21 metri di dislivello per 100 metri di distanza percorsi secondo la carta stradale”). Per una retta perpendicolare non ha senso parlare di coefficiente angolare, e ciò corrisponde al fatto che tan(90°) e tan(–90°) non sono definite.

Proprietà di Tangente e Cotangente

Le relazioni elencate sopra per Seno e Coseno implicano una serie di proprietà utili per Tangente e Cotangente. Come per Seno e Coseno possiamo utilizzare la circonferenza goniometrica, come raffigurata qui a fianco. L’angolo a è individuato dal raggio (rosso). La Tangente di questo angolo corrisponde alla lunghezza del segmento riportato sulla retta azzurra g. Per la relazione (20) essa è pari alla pendenza del raggio, che nello schizzo è stato prolungato con una linea tratteggiata fino a intersecare la retta g. Anche per un angolo ottuso oppure negativo possiamo individuare la tangente sulla stessa retta g. Con questo metodo possiamo anche determinare facilmente il segno per un tale angolo. Nei casi α = 90° e α = –90° il raggio è parallelo alla retta g. Questa è la spiegazione geometrica del fatto che la tangente non è definita per questi angoli. A questo proposito si veda anche la parte sinistra dell’Applet qui a fianco. Per la Cotangente valgono proprietà analoghe, scambiando i ruoli degli assi cartesiani.

Per certi angoli i valori delle funzioni trigonometriche possono essere espressi con le operazioni di calcolo usuali, in particolare con radici quadrate. Riportiamo nella seguente tabella alcuni di questi angoli con i rispettivi valori:

In tutte le frazioni che contengono radici quadrate abbiamo reso razionale il denominatore. Il simbolo  ±∞ sta a indicare che il valore corrispondente non è definito.

Ci sono varie misure angolari, cioè sistemi per misurare un angolo. Il metodo che probabilmente vi è più usuale è il sistema sessagesimale, che si basa sulla divisione dell’angolo giro in 360 “gradi angolari”. Il numero 360 per l’angolo giro è scelto per motivi storici, ma dal punto di vista matematico non é molto vantaggioso. Per molti scopi è molto più utile passare a un altro sistema, la misura in radianti. Qui la grandezza di un angolo si misura come lunghezza dell’arco corrispondente su una circonferenza di raggio 1. Ciò è rappresentato nella figura qui a fianco: Invece di misurare l’angolo α in gradi, si usa la lunghezza dell’arco azzurro come misura per la sua grandezza. L’angolo giro in radianti è dato dalla circonferenza del cerchio di raggio 1, cioè da 2π.

Esempio: Un angolo di 60° (cioè un sesto dell’angolo giro) in radianti è pari a π/3, cioè circa 1.0472. Vediamo subito gli svantaggi della misura in radianti: Angoli “rotondi” come 30°, 45°, 60°, 90°, 180° e 360° vengono rappresentati da numeri irrazionali. Nella migliore delle ipotesi sono dati da multipli razionali di π (come π/3 per 60°).

Quando un angolo è dato in radianti generalmente non si indica “l’unità di misura” (cioè non si mette un simbolo come °). A volte si usa l’abbreviazione rad (ad esempio 60° è π/3 rad, quindi circa 1.0472 rad), ma questo non è necessario.

La trasformazione da gradi in radianti e viceversa è molto semplice: Se α è un angolo dato in gradi, il suo valore in radianti è 2π × α/360°. Viceversa un valore in radianti va moltiplicato per 360°/(2π) per ottenere l’angolo in gradi.

La misura in radianti di un angolo può essere anche individuata con un cerchio di raggio arbitrario r. Se, come nello schizzo qui a fianco, l’arco ha lunghezza s, allora l’angolo α in radianti è dato dal quoziente s/r. Per il cerchio di raggio 1 (r = 1) ritroviamo la nostra definizione. Questa proprietà deriva dal fatto che tutti gli “spicchi di torta” con lo stesso angolo α sono simili fra loro. Differiscono soltanto per la loro grandezza, ma il rapporto fra le lunghezze s/r è costante per tutte queste figure, e può essere quindi usato come misura dell’angolo.

Torniamo adesso alle funzioni trigonometriche. Alcune delle formule che abbiamo visto si riferivano alla misura in gradi e possono ora essere tradotte in radianti. La periodicità di Seno e Coseno (6) in radianti è data dalla formula

e le relazioni (8)–(11) si traducono in

Anche le relazioni riguardanti Tangente e Cotangente e la tabella riportata sopra con i valori delle funzioni trigonometriche per alcuni angoli speciali hanno una versione analoga in radianti

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