I 23 Problemi di Hilbert / Hilbert’s Mathematical Problems

 

I Problemi di Hilbert costituiscono una lista di 23 problemi matematici stilata da David Hilbert e presentati l’8 agosto 1900 nella sua conferenza del Congresso internazionale dei matematici svoltasi a Parigi in quell’anno. Tutti i problemi allora presentati erano ancora irrisolti e molti di essi hanno avuto una notevole portata nella matematica del XX secolo. A questa conferenza in realtà egli presentò 10 di questi problemi (1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21, e 22) e la lista completa venne pubblicata successivamente.

Ad imitazione dei problemi di Hilbert, per la fine del XX secolo e del secondo millennio, l’Istituto matematico Clay ha istituito altri 7 problemi per il millennio. L’ipotesi di Riemann è l’unico problema presente in entrambe le liste.

Nella formulazione classica dei problemi data da David Hilbert, i problemi 3, 7, 10, 11, 13, 14, 17, 19 e 20 hanno una dimostrazione accettata con universale consenso.

I problemi 1, 2, 5, 9, 15, 18, 21, 22, hanno una soluzione non accettata da tutti i matematici (come il problema 18 considerato da alcuni risolto e da altri indimostrato fino alla prova della congettura di Keplero) o hanno una soluzione che non tutti ritengono che risolva il problema (per esempio il problema 1).

I problemi 8 (ipotesi di Riemann) e 12 sono irrisolti.

I problemi 4, 6, 16, 23 sono troppo vaghi per avere una soluzione. Anche il “ventiquattresimo problema” poi non presentato da Hilbert cadrebbe in quest’ultima categoria.

Elenco dei 23 problemi

I 23 problemi di Hilbert sono:

ProblemaBreve descrizioneStato attuale del problema
Problema 1L’ipotesi del continuo, cioè determinare se esistono insiemi la cui cardinalità è compresa tra quella dei numeri interi e quella dei numeri reali.Risoluzione parzialmente accettata
Problema 2Si può dimostrare che l’insieme degli assiomi dell’aritmetica è consistente?Risoluzione parzialmente accettata
Problema 3Dati due poliedri dello stesso volume, è possibile tagliare entrambi nello stesso insieme di poliedri più piccoli?Risolto
Problema 4Costruire tutte le metriche in cui le rette sono geodetiche.Troppo vago
Problema 5Tutti i gruppi continui sono automaticamente gruppi differenziali?Risoluzione parzialmente accettata
Problema 6Assiomatizzare tutta la fisica.Troppo vago
Problema 7Dati a ≠ 0,1 algebrico e b irrazionale, il numero a b è sempre trascendente?Risolto Parzialmente
Problema 8Dimostrare l’ipotesi di Riemann.Aperto
Problema 9Generalizzare la legge di reciprocità in un qualunque campo numerico algebrico.Risoluzione parzialmente accettata
Problema 10Trovare un algoritmo che determini se una data equazione diofantea in n incognite abbia soluzione.Irresolubile
Problema 11Classificare le forme quadratiche nel caso di coefficienti in un campo di numeri algebrico.Risolto
Problema 12Estendere il Teorema di Kronecker-Weber sulle estensioni abeliane dei numeri razionali a estensioni abeliane di campi numerici arbitrari.Aperto
Problema 13Risolvere l’equazione generale di settimo grado utilizzando funzioni con due soli argomenti.Risolto
Problema 14Determinare se l’anello degli invarianti di un gruppo algebrico che agisce su un anello di polinomi è sempre finitamente generato.Risolto
Problema 15Fondazione rigorosa del calcolo enumerativo di Schubert.Risoluzione parzialmente accettata
Problema 16Topologia delle curve e superfici algebriche.Troppo vago
Problema 17Determinare se le funzioni razionali non negative possono essere espresse come quozienti di somme di quadrati.Risolto
Problema 18Esiste un poliedro non-regolare che può tassellare lo spazio? Qual è il più denso impacchettamento di sfere?Risoluzione parzialmente accettata
Problema 19Le soluzioni dei problemi variazionali regolari sono sempre analitiche?Risolto
Problema 20Tutti i problemi variazionali con determinate condizioni al contorno hanno soluzione?Risolto
Problema 21Dimostrazione dell’esistenza di equazioni differenziali lineari aventi un prescritto gruppo di monodromia.Risoluzione parzialmente accettata
Problema 22Uniformizzazione delle relazioni analitiche per mezzo di funzioni automorfe.Risoluzione parzialmente accettata
Problema 23Sviluppare ulteriormente il calcolo delle variazioni.Troppo vago

Hilbert’s Mathematical Problems

In 1900, DAVID HILBERT outlined 23 mathematical problems to the International Congress of Mathematicians in Paris. His famous address influenced, and still today influence, mathematical research all over the world.

The original address Mathematische Probleme appeared in Göttinger Nachrichten, 1900, and in Archiv der Mathematik und Physik, 1901. The French translation by M. L. Laugel Sur les problèmes futurs des mathématiques appeared in Compte Rendu du Deuxième Congrès International des Mathématiciens, Gauthier-Villars, Paris, 1902.

Mary Winston Newson translated Hilbert’s address into English for Bulletin of the American Mathematical Society, 1902. A reprint of which appeared in Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems, edited by Felix E. Browder, American Mathematical Society, 1976. There is also a collection on Hilbert’s Problems, edited by P. S. Alexandrov, 1969, in Russian, which has been translated into German.

Further Reading:
Ivor Grattan-Guinness: A Sideways Look at Hilbert’s Twenty-three Problems of 1900 (pdf file), Notices of the AMS, 47, 2000.
Jeremy J.Gray: We must know, we shall know; a History of the Hilbert Problems, European Math. Soc.: Newsletter 36, and Oxford Univ. Press, 2000.

David Joyce, Clark University, produced a list of Hilbert’s problems and a web version of Hilbert’s 1900 address in March 1997.

Biographical notes on Hilbert are contained in the History of Mathematics Archives, School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland.

Problem 1Cantor’s problem of the cardinal number of the continuum.Cohen 1963/64: the continuum hypothesis is formally indecidable in the Zermelo-Fraenkel set theory.
Problem 2The compatibility of the arithmetical axioms.
Problem 3The equality of two volumes of two tetrahedra of equal bases and equal altitudes.Solved by Dehn in 1902.
Problem 4Problem of the straight line as the shortest distance between two points.
Problem 5Lie’s concept of a continuous group of transformations without the assumption of the differentiability of the functions defining the group.
Problem 6Mathematical treatment of the axioms of physics.
Problem 7Irrationality and transcendence of certain numbers.Gelfond-Schneider 1934, Baker 1966.
Problem 8Problems of prime numbers.The distribution of primes and the Riemann hypothesis.
Problem 9Proof of the most general law of reciprocity in any number field.See class field theory developed by Hilbert, Takagi, Artin, and others; norm rest symbols computed by Shafarevich in 1950, and further developments as in algebraic K-theory.
Problem 10Determination of the solvability of a diophantine equation.Solved negatively by Matiyasevich in 1970.
Problem 11Quadratic forms with any algebraic numerical coefficients.The Hasse principle 1923/24; arithmetic and algebraic theory of quadratic forms.
Problem 12Extension of Kroneker’s theorem on abelian fields to any algebraic realm of rationality.
Problem 13Impossibility of the solution of the general equation of the 7-th degree by means of functions of only two arguments.
Problem 14Proof of the finiteness of certain complete systems of functions.First counter example by Nagata in 1958.
Problem 15Rigorous foundation of Schubert’s enumerative calculus.
Problem 16Problem of the topology of algebraic curves and surfaces.
Problem 17Expression of definite forms by squares.Solved by Artin in 1927.
Problem 18Building up of space from congruent polyhedra.Crystallographic groups, fundamental domains, sphere packing problem.
Problem 19Are the solutions of regular problems in the calculus of variations always necessarily analytic?
Problem 20The general problem of boundary values.
Problem 21Proof of the existence of linear differential equations having a prescribed monodromic group.
Problem 22Uniformization of analytic relations by means of automorphic functions.
Problem 23Further development of the methods of the calculus of variations.


Categorie:J10.01- Storia della Matematica

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